Coordenadas Polares

Al igual que la historia de la humanidad donde se conocían muchos términos pero sin usar el nombre con el que se conocen actualmente, ocurrió con las coordenadas polares. Los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.  

En tiempos modernos, el matemático, a quien se le atribuyó el haber empleado por primera vez las coordenadas polares fue James Bernoulli, que las introdujo en 1691, No obstante existe  cierta evidencia de que Isaac Newton pudo haberlas utilizado con anterioridad.

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. En este sistema de coordenadas  todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al  polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como el radio vector mientras que el ángulo es el ángulo polar.

Investigar:

1)¿Qué tiene que ver Isaac Newton con la braquistócrona?

2)Un poco de historia de las coordenadas polares desde la antigüedad hasta los últimos estudios.

3)Nombra cinco aplicaciones de las coordenadas polares en la vida diaria.

4)Averiguar cuáles son las ecuaciones en coordenadas polares para las siguientes curvas:

a)

b)

Geometría en el espacio

La palabra espacio nos sugiere normalmente el universo, las galaxias o el lugar por donde circulan los satélites artificiales. Sin embargo, nosotros somos también espacio y todo lo que nos rodea lo es.

Si quisiéramos ubicar un punto en el espacio, lo más lógico es usar el sistema de coordenadas cartesianas en el espacio o tres dimensiones.

Recordemos, que la posición de un punto en un plano se define por medio de las dos distancias de éste a dos ejes que se cortan y que, normalmente, son perpendiculares entre sí (rectangulares). En el espacio, un punto se determina mediante sus distancias a tres planos perpendiculares dos a dos y que se llaman planos coordenados. Las distancias del punto a estos planos se denominan coordenadas del punto.

Las rectas de intersección de los planos coordenados son los ejes X, Y, y Z que se llaman ejes coordenados. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho octantes.

                                                   

                           

Investigar:                                                                                           

1)¿Qué son ángulos de dirección y cosenos directores?

2)¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, tomando en cuenta, las tres coordenadas del punto?

3)¿Cuáles son las aplicaciones de ésta geometría en el espacio, en la vida cotidiana?

Las Secciones Cónicas

La historia de las cónicas es muy antigua, ya eran conocidas durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.

Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento fue el llamado Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos.

Pero todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido, después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas.

Se denomina sección cónica o simplemente cónica, a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

·         β < α : Hipérbola (naranja)

·         β = α : Parábola (azulado)

·         β > α : Elipse (verde)

·         β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Investigar:

1.- ¿Qué relación tienen con las cónicas Apolonio de Perga?

2.- ¿Qué relación existe entre el álgebra y la geometría?

3.- Nombre cuatro aplicaciones de las cónicas en la vida diaria.